Matematica discreta Esempi

$3 x^{2} + 9 x + 3$

Passaggio 1

Il minimo di una funzione quadratica si verifica in prossimità di $x = - \frac{b}{2 a}$ . Se $a$ è positivo, il valore minimo della funzione è $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{min}$ $x = a x^{2} + b x + c$ compare in corrispondenza di $x = - \frac{b}{2 a}$

Passaggio 2

Trova il valore di $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci con i valori di $a$ e $b$ .

$x = - \frac{9}{2 (3)}$

Passaggio 2.2

Rimuovi le parentesi.

$x = - \frac{9}{2 (3)}$

Passaggio 2.3

Elimina il fattore comune di $9$ e $3$ .

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Passaggio 2.3.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$x = - \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Scomponi $3$ da $2 \cdot 3$ .

$x = - \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2}$

Passaggio 2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = - \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2}$

Passaggio 2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = - \frac{3}{2}$

Passaggio 3

Calcola $f (- \frac{3}{2})$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{3}{2}$ nell'espressione.

$f (- \frac{3}{2}) = 3 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 9 (- \frac{3}{2}) + 3$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

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Passaggio 3.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}) + 9 (- \frac{3}{2}) + 3$

Passaggio 3.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}})) + 9 (- \frac{3}{2}) + 3$

Passaggio 3.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 3 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})) + 9 (- \frac{3}{2}) + 3$

Passaggio 3.2.1.3

Moltiplica $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 3 (\frac{3^{2}}{2^{2}}) + 9 (- \frac{3}{2}) + 3$

Passaggio 3.2.1.4

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 3 (\frac{9}{2^{2}}) + 9 (- \frac{3}{2}) + 3$

Passaggio 3.2.1.5

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 3 (\frac{9}{4}) + 9 (- \frac{3}{2}) + 3$

Passaggio 3.2.1.6

Moltiplica $3 (\frac{9}{4})$ .

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Passaggio 3.2.1.6.1

$3$ e $\frac{9}{4}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{3 \cdot 9}{4} + 9 (- \frac{3}{2}) + 3$

Passaggio 3.2.1.6.2

Moltiplica $3$ per $9$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{27}{4} + 9 (- \frac{3}{2}) + 3$

Passaggio 3.2.1.7

Moltiplica $9 (- \frac{3}{2})$ .

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Passaggio 3.2.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - 9 (\frac{3}{2}) + 3$

Passaggio 3.2.1.7.2

$- 9$ e $\frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{27}{4} + \frac{- 9 \cdot 3}{2} + 3$

Passaggio 3.2.1.7.3

Moltiplica $- 9$ per $3$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{27}{4} + \frac{- 27}{2} + 3$

Passaggio 3.2.1.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - \frac{27}{2} + 3$

Passaggio 3.2.2

Trova il comune denominatore.

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Passaggio 3.2.2.1

Moltiplica $\frac{27}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - (\frac{27}{2} \cdot \frac{2}{2}) + 3$

Passaggio 3.2.2.2

Moltiplica $\frac{27}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - \frac{27 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 3$

Passaggio 3.2.2.3

Scrivi $3$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - \frac{27 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{1}$

Passaggio 3.2.2.4

Moltiplica $\frac{3}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - \frac{27 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 3.2.2.5

Moltiplica $\frac{3}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - \frac{27 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{3 \cdot 4}{4}$

Passaggio 3.2.2.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - \frac{27 \cdot 2}{4} + \frac{3 \cdot 4}{4}$

Passaggio 3.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{27 - 27 \cdot 2 + 3 \cdot 4}{4}$

Passaggio 3.2.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.4.1

Moltiplica $- 27$ per $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{27 - 54 + 3 \cdot 4}{4}$

Passaggio 3.2.4.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{27 - 54 + 12}{4}$

Passaggio 3.2.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.2.5.1

Sottrai $54$ da $27$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 + 12}{4}$

Passaggio 3.2.5.2

Somma $- 27$ e $12$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 15}{4}$

Passaggio 3.2.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{15}{4}$

Passaggio 3.2.6

La risposta finale è $- \frac{15}{4}$ .

$- \frac{15}{4}$

Passaggio 4

Usa i valori $x$ e $y$ per individuare dove si ha il valore minimo.

$(- \frac{3}{2}, - \frac{15}{4})$

Passaggio 5